Prima pagină » Uncategorized » CRITERII DE OPTIMALITATE ÎN TEORIA DECIZIILOR

CRITERII DE OPTIMALITATE ÎN TEORIA DECIZIILOR

În acest moment se cunosc foarte multe tehnici prin care se pot realiza rezolvarea unei

probleme de optimizare (cu sau fără restricţii, dinamică sau de tip minmax). Problema este stabilirea efectivă a funcţiei de eficienţă în diferite situaţii: există unul sau mai mulţi decidenţi, există posibilitatea cooperării, corealizării sau interesele decidenţilor sunt diferite, se pot cuantifica corect mulţimea de decizie pentru fiecare decident, se pot stabili parametrii corectori, se pot evalua corect câştigurile informaţionale.

Criteriile de optimalitate în teoria deciziilor sunt împărţite în trei categorii, în funcţie de condiţiile în care este creat modelul de lucru.

 

1.1. Condiţii deterministe

Se consideră a fi acela în care o acţiune conduce la un singur rezultat. Din punct de vedere matematic aceasta înseamnă că se lucrează doar în funcţii univoce adică acele funcţii care asociază unei valori din domeniu o singură valoare din codomeniu. Practic acest caz se încadrează în condiţiile obişnuite ale teoriei optimizării (optimizare liniară, optimizare neliniară, optimizare dinamică etc).

 

1.2. Condiţii de nedeterminare

Presupunem că avem un proces decizional cu cel puţin doi decidenţi pentru care notăm cu f funcţia de eficienţă. Din motive legate de comoditatea calculelor vom presupune că există doar doi decidenţi pentru care vom nota cu  mulţimile de decizie şi cu  care în mod uzual se poate scrie sub forma   şi care se numeşte matricea plăţilor.

Din punct de vedere economic semnificaţia mulţimilor X şi Y este diversă. Cazul cel mai comod este acela în care avem un proiect investiţional de cost dat şi există mai multe posibilităţi de realizare al acestuia; aceste posibilităţi fiind cuantificate prin elementele x1, x2,…,xm ale mulţimii X.

Pentru a nu risca situaţiile în care angajamentele ocazionate de realizarea proiectului să nu fie acoperite, este necesar ca încasările sau profiturile obţinute să fie asigurate. Există în total n posibilităţi de asigurare, practic acest lucru fiind reflectat de elementele mulţimii Y.

Din considerente practice ultima variantă, desemnată prin elementele mulţimii Y semnifică faptul că profitul nu este asigurat. În acest caz f reprezintă funcţia de profit, iar Bij reprezintă profitul adus prin realizarea proiectului în varianta xi şi în baza asigurării yj. Din motive de comoditate ale notaţiilor, perechea (xi, yj) se  notează simplu (i,j).

Condiţiile nedeterministe se exprimă prin faptul că primul decident nu are informaţii suficiente asupra mulţimii de decizie Y ale celui de–al doilea decident. Aceasta înseamnă că nu se poate formula corect problema  prin urmare trebuie căutate criteriile speciale de comportament strategic.

 

1.2.1. Criteriul optimist (Hurcwitz)

Acest criteriu presupune alegerea acelei perechi de strategii (xi0, yj0), practic a perechii (i0,j0) pentru care se realizează egalitatea următoare:

 

În această situaţie p reprezintă gradul de optimism al primului decident legat de alegerea celei mai avantajoase situaţii.

Observaţia 1.5. Utilizarea acestui criteriu este extrem de comodă deoarece presupune un calcul imediat pornind de la matricea profiturilor  dar nu conduce la rezultate concludente întru-cât alegerea parametrului p este în general subiectivă.

Observaţia 1.6. Mărimea p are semnificaţia unei ponderi şi din acest motiv se impune condiţia .

1.2.2. Criteriul pesimist (Wald)

Potrivit acestui criteriu valoarea optimă este aceea pentru care se realizează egalitatea                                        

 

Din punct de vedere economic profitul optim în raport cu acest criteriu semnifică cel mai mare profit pe care îl poate realiza primul decident indiferent de comportamentul strategic al celui de-al doilea.

În cazul exemplului legat de proiectul investiţional  reprezintă profitul cel mai bun la care se poate aştepta investitorul indiferent de varianta de asigurare adoptată.

Observaţia 1.7.  Acest criteriu a fost preluat în teoria jocurilor, dezvoltată de Neumann, iar mărimea  reprezintă câştigul maxim garantat.

 

1.2.3. Criteriul  Neumann

Potrivit acestui criteriu strategia optimă este acea pereche (i0,j0) pentru care profitul optim este dat de egalitatea următoare:

 

Din punct de vedere economic profitul  reprezintă  pierderea maximă pe care o poate realiza  decidentul al doilea.

Observaţia 1.8. Se poate arăta relativ uşor următoarea inegalitate

.

 

1.2.4. Criteriul (principiul) stabilităţii

Este un criteriu introdus de Neumann în baza căruia perechea (i0,j0) trebuie căutată pornind de la egalitatea următoare:

.

O astfel de pereche optimă se numeşte punct de echilibru şi se caracterizează în general printr-un comportament strategic prudent.

Determinarea perechii (i0,j0) pentru care se realizează egalitatea precedentă este o problemă, în general, dificilă şi se rezolvă printr-o tehnică specială de optimizare, optimizare minmax.

Criteriul stabilităţii în strategii simple. Practic suntem conduşi la rezolvarea problemei de optimizare:

(P)

care, în contextul analizat devine:

 

Se poate arăta că soluţia  a problemei (P) verifică condiţiile:

 

ceea ce din punct de vedere a deciziilor înseamnă că orice abatere a decidenţilor de la alegerea strategiei echilibru va conduce la micşorarea câştigurilor acestora.

Rezolvarea problemei (P) este în general dificilă. De asemenea trebuie precizat că nu totdeauna această problemă are soluţii. Atunci când existenţa soluţiilor este asigurată, metodele uzuale folosite pentru determinarea punctelor echilibru sunt următoarele: metoda multiplicatorilor lui Lagrange, metoda penalizării, metoda gradientului etc.

Criteriul stabilităţii în strategii mixte. Se porneşte de la accepţiunea că în general o matrice a câştigurilor (profiturilor) nu conţine puncte de echilibru. Altfel spus egalitatea      nu are întotdeauna soluţie. În consecinţă funcţia de eficienţă f a fost modificată corespunzător, mulţimile de strategii au fost şi ele modificate astfel încât în noile condiţii să se poată determina întotdeauna punctele de echilibru.

Asociem mulţimilor de strategii X, Y aşa numitele mulţimi de strategii mixte P, Q unde P reprezintă mulţimea tuturor repartiţiilor de probabilitate

 

iar Q reprezintă mulţimea tuturor repartiţiilor de probabilitate

 

Semnificaţia componentelor pi şi qj a strategiilor mixte p, respectiv q este următoarea:

• componenta pi a strategiei mixte P semnifică faptul că primul decident adoptă strategia xi cu probabilitatea pi,  .

• componenta qj a strategiei mixte Q semnifică faptul că cel de-al doilea decident adoptă strategia yj cu probabilitatea qj, .

Se introduce o nouă funcţie de eficienţă F, definită prin egalitatea:

Această funcţie de eficienţă semnifică profitul mediu obţinut de cei doi decidenţi (deoarece este de fapt valoarea medie a unei variabile aleatoare). Pentru noua funcţie de eficienţă F se poate arăta că totdeauna există puncte de echilibru în strategii mixte.

Teorema 1.1. Au loc următoarele rezultate:

a) există totdeauna un punct de echilibru       unde

componentele acestor strategii fiind date de egalităţile următoare:

 

unde:  sunt soluţiile optime ale următorului cuplu dual de probleme de optimizare liniară:

 

Valoarea funcţiei de eficienţă pentru punctul echilibru găsit este următoarea:        .

1.2.5. Criteriul regretului minim (Savage)

Are la bază analiza efectelor alegerii unei variante proaste în raport cu o variantă bună. Potrivit acestui criteriu perechea optimă căutată (i0,j0) este aceea pentru care se realizează egalitatea următoare:

 

Semnificaţia mărimilor care intervin în această egalitate este:

1)  reprezintă pierderea maximă datorată alegerii variantei proaste j;

2)  reprezintă maximul tuturor pierderilor prin analiza tuturor variantelor;

3)  reprezintă pierderea minimă realizată.

Altfel spus, dacă presupunem că s-a ales varianta proastă j, atunci maximul de pierdere în raport cu acesta este dat de 1). Analizând însă toate variantele, pierderea maximă este dată de 2). Primul decident va adopta aceea decizie i0 care realizează suma tuturor pierderilor minime.

 

1.3. Condiţii de incertitudine

Corespunde situaţiei în care y este o variabilă aleatoare pentru care se cunoaşte exact funcţia de repartiţie sau funcţia de repartiţie poate fi bine aproximată.

Asociem mulţimii   o repartiţie de probabilităţi ,       .

Semnificaţia mărimilor p1,p2,…,pn este legată de ponderile alocate elementelor mulţimii de decizie pentru primul decident.

 

1.3.1. Criteriul verosimilităţii maxime (credibilitate)

Potrivit acestui criteriu decizia optimă constă în alegerea acelei perechi (i0,j0) pentru care se realizează următoarea egalitate:

1.3.2. Criteriul profitului mediu (Bayes)

Are la bază ideea utilizării noţiunii de valoare medie. Potrivit acestui criteriu se va alege varianta optimă j0 care maximizează profiturile medii.

Vom nota cu Pj profitul mediu pentru varianta j,

 

Soluţia optimă căutată este j0 pentru care .

În situaţia în care ponderile nu sunt cunoscute, acest criteriu permite determinarea optimală a lor din condiţiile . Aceste condiţii împreună cu condiţia  conduce la un sistem liniar de n ecuaţii cu n necunoscute.

 

1.3.3. Criterii entropice

Sunt cunoscute trei criterii distincte:

• criteriul informaţiei maxime simple ;

• criteriul informaţiei maxime ponderate;

• criteriul informaţiei maxime şi a valorii medii (în sensul de sumă dintre entropie şi valoarea medie).

 

1.3.3.1. Criteriul informaţiei maxime simple

Practic se pune problema determinării acelei repartiţii de probabilităţi (ponderile profiturilor) pentru care se maximizează entropia. În mod obişnuit restricţiile problemei sunt legate de cunoaşterea în prealabil a unor indicatori statici, în mod uzual sau media şi abaterea medie pătratică. În situaţia în care se cunosc valorile medii:

(1.8)

suntem conduşi la rezolvarea următoarei probleme de optimizare liniară:

În mod obişnuit această problemă se rezolvă utilizând metoda multiplicatorului lui Lagrange. Soluţia acestei probleme este următoarea:

 

unde:                                      ;

b reprezintă soluţia unică a următoarei ecuaţii:

(1.9)

Observaţia 1.9. Membrul drept al egalităţii (1.9) este de fapt un profit mediu ponderat, ceea ce  înseamnă că valoarea medie mj are o semnificaţie economică bine precizată.

 

1.3.3.2. Criteriul informaţiei maxime ponderate

În această situaţie funcţia de eficienţă se consideră a fi entropia lui Guiaşu:

Ne interesează acea repartiţie de probabilitate care maximizează entropia, deci suntem conduşi la rezolvarea următoarei probleme:

 

Soluţia acestei probleme se poate determina utilizând metoda multiplicatorului lui Lagrange, fie utilizând un artificiu şi câteva rezultate importante din calculul diferenţial. În final se obţine:

unde a reprezintă soluţia unică a ecuaţiei

 

Observaţia 1.10. Din punct de vedere economic condiţia  este cunoscută sub denumirea de condiţie exclusivistă, fiind de fapt echivalentul matematic al condiţiei de independenţă probabilistă.

1.3.3.3.Criteriul maximizării informaţiei şi a valorii medii

Practic suntem conduşi la rezolvarea următoarei probleme :

 

Ţinând seama de condiţia de exclusivitate  şi de condiţia de nenegativitate  după aplicarea metodei multiplicatorului lui Lagrange obţinem imediat soluţia căutată:

 

Observaţia 1.11. În cazul în care ne situăm în varianta maximizării unei variabile aleatoare continue pentru care se cunoaşte valoarea medie m şi abaterea medie pătratică s, aplicând principiul informaţiei maxime simple, rezultă după un calcul relativ comod că distribuţia optimă care maximizează informaţia este de tip normal cu parametrii m şi s adică de tipul N(m, s).

 


Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: